Multiskalenmodellierung und erweiterte finite Elmente Analyse von Bruchprozessen in Keramik

Die erweiterte finite Elemente Methode (XFEM) ermöglicht die Modellierung von Rissen unabhängig von der Vernetzung. Dadurch hat sich die XFEM für Rissberechnungen durchgesetzt. Vor allem in der Nähe von Makrorissspitzen muss die Mikrostruktur des Materials berücksichtigt werden, da Mikrorisse das Risswachstum verstärken oder abschwächen können. Mikrorisse entstehen unter Belastung in der Nähe des fortschreitenden Makrorisses. Dies motiviert eine Mehrskalenmodellierung z.B. mit der Multiskalenprojektionsmethode, die in der Lage ist, Mikrostruktureffekte dort aufzulösen, wo sie einen großen Einfluss haben können.

Die Berechnung eines Diskretisierungsfehlers für den Mikrobereich ermöglicht eine adaptive Verfeinerung des Netzes, so dass in Kombination mit adaptiven Netzverfeinerungen genauere Ergebnisse erzielt werden können. Um einen besseren Vergleich des Fehlers bei verschiedenen Netzen zu ermöglichen, wird ein relativer Diskretisierungsfehler berechnet. Abbildung 1 zeigt den relativen Fehler für einen geraden Makroriss. Es ist zu erkennen, dass der Diskretisierungsfehler des adaptiv verfeinerten Netzes (Abbildung 1.b) mit dem Dirkretisierungsfehler des gleichmäßig verfeinerten Netzes (Abbildung 1.c) übereinstimmt.

   a) 2.800 FHG                               b) 150.000 FHG                             c) 2.800.000 FHG

Abbildung 1: Relativer Fehler für verschiedene Vernetzungen

Der Mikrobereich, der innerhalb einer Multiskalenrechnung verwendet werden soll, muss im Vorfeld festgelegt werden. Abbildung 2 zeigt den Einfluss des Mikrobereichs. Wird dieser relativ klein gewählt (Abbildung 2.a), entstehen Spannungsfluktuationen am Rand des Mikorbereichs. Durch eine Vergrößerung des Bereichs können diese reduziert werden. Im allgemeinen ist ein einfacher tubusförmiger Bereich um die Makrorissfront nicht die optimale Geometrie für den Mikrobereich. Deshalb wird ein Modellfehler berechnet, der die Größe und die Form des Mikrobereichs unabhängig von der Makrorissvernetzung optimiert.