In der Welt der Produktion und Messung sind keine zwei Bauteile jemals identisch. Zufällige Abweichungen und Schwankungen sind quasi unvermeidbar.

Materialien mit zufälligen Schwankungen
Ein einfaches verständliches Beispiel ist das Mischen von Beton. Beton besteht typischerweise aus Gestein, Zement und Wasser. In Grafik 1 ist ein Schnitt durch ausgehärteten Beton dargestellt.
Abhängig von der spezifischen Mischung verhält sich das Verhalten des Betons leicht anders, zum Beispiel hinsichtlich der Aushärtezeit oder der Bruchfestigkeit. Aufgrund der zufälligen Verteilung der Gesteinspartikel im Gemisch lassen sich die Eigenschaften aber nicht exakt steuern.

Grafik 1: Querschnitt durch Beton
Ralf Saalmueller, CC ASA 3.0 Unported License, https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en

Das gleiche gilt für industriell gefertigte Bauteile. Grafik 2 zeigt die Ergebnisse eines Zugversuches an Kunststoffproben. Die Kraft ist über die Verlängerung der Probe dargestellt, wobei jede Farbe einer individuellen Kurve entspricht. Zwar ist der Kurvenverlauf jeweils ähnlich, aber die nötige Kraft für eine gewisse Verformung unterscheidet sich beachtlich. Für eine Verlängerung um 6 mm sind zwischen 28 N und 45 N notwendig. Diese Unterschiede können beispielsweise auf variierende Wärmeeinwirkung während der Produktion zurückgeführt werden.

Grafik 2: Kraft über Verschiebung für Kunststoffproben

Stochastik

Es stellt sich die Frage, wie diese Schwankungen charakterisiert werden können. Dazu nutzt man mathematische Hilfsmittel aus der Stochastik. In der Stochastik werden Probleme mit zufälligen Ergebnissen untersucht. Ein simples Beispiel ist der Münzwurf. Zwar kann man nicht hervorsagen, ob im nächsten Wurf Kopf oder Zahl geworfen wird, aber es ist möglich Aussagen über eine große Anzahl an Würfen zu treffen. So erwarten wir, dass nach vielen Würfen Kopf und Zahl etwa gleich häufig geworfen wurden.

Im Fall der Zugversuche ist die benötigte Kraft eine kontinuierliche Zufallsvariable, die prinzipiell jeden positiven Wert annehmen kann. Ein Histogramm eignet sich, um die Häufigkeit der Ergebnisse zu visualisieren. Hierzu werden die Daten in einzelne Klassen eingeteilt. Beispielhaft ist dies in Grafik 3 dargestellt. Mit zunehmender Zahl der Experimente und feineren Klasseneinteilungen geht das Histogramm in eine kontinuierliche Verteilungsfunktion über.

Grafik 3: Histogramm

Wichtige Größen der Verteilung können mit dem Histogramm oder einer Verteilungsfunktion bestimmt werden. Dazu zählen der Erwartungswert und die Standardabweichung.
Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert, den man bei vielen Wiederholungen des Experimentes erwarten kann. Der Erwartungswert ist der mathematische Mittelwert.
Die Standardabweichung gibt an, wie stark die einzelnen Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen.
Ohne zufällige Schwankungen wäre die Standardabweichung immer 0. Weitere Größen können definiert werden um einige komplexere Verteilungen zu charakterisieren.

Für die Auslegung der Bauteile sind nicht nur die stochastischen Eigenschaften der Kräfte interessant, sondern auch die Stochastik der Spannungen im Material und die Entwicklung der Mikrostruktur.

Ziel des Projektes Gen-TSM ist die effiziente Vorhersage dieser stochastischen Größen um genauere Aussagen über die Zuverlässigkeit zu erhalten.

Finanziert von der Europäischen Union (ERC, Gen-TSM, project number 101124463). Die geäußerten Ansichten und Meinungen sind jedoch ausschließlich die des Autors/der Autoren und spiegeln nicht unbedingt die der Europäischen Union oder der Exekutivagentur des Europäischen Forschungsrats wider. Weder die Europäische Union noch die Bewilligungsbehörde können für sie verantwortlich gemacht werden.